大卫·格里菲斯：量子力学概论@2009 (第2版)

本文件旨在從所提供的《量子力學導論》譯者序、序言、目錄及正文部分中，提煉並詳細解釋其核心論點。這些論點構成了量子力學這門學科的基礎，以及本書介紹該學科所採取的特殊視角和方法。

1. 量子力學的獨特本質與本書教學方法

書中序言強調，量子力學與牛頓力學、馬克士威電磁學等古典理論不同，它並非由單一人物或少數人物明確建立，其基本原理、詮釋乃至「意義」至今仍缺乏普遍一致的看法。尼爾斯·波耳（Niels Bohr）和理查德·費曼（Richard Feynman）等先驅都曾表達對量子力學深感困惑的看法。本書並未迴避這些深刻的準哲學問題，但作者（Griffiths）採取的教學方法是：先教授讀者「如何學習量子力學」，即掌握其計算技巧和應用方法，而非一開始就深入探討其深奧的詮釋。作者認為，在對量子力學的實際應用有牢固理解之前，討論其「意義」是不明智的。這奠定了本書「先理論，後應用和詮釋」的結構基礎。

2. 量子態的描述與演化：波函數與薛丁格方程式

古典力學中，一個粒子（如沿 x 軸運動）的狀態由其在任意時刻的位置 x(t) 完全決定。然而，量子力學對此採取了截然不同的方法。一個粒子的狀態不再由單一的位置或軌道描述，而是由一個稱為波函數（wave function）的複數函數 Ψ(x, t) 來描述，這個波函數是位置 x 和時間 t 的函數。波函數是量子力學描述微觀體系狀態的核心概念。

波函數的演化遵循普朗克常數 ħ 介導的一個基本方程式，即含時薛丁格方程式（Time-Dependent Schrödinger Equation, TDSE）：
$i\hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2 \Psi}{\partial x^2} + V(x,t)\Psi$
這個方程式在量子力學中的地位類似於牛頓第二定律在古典力學中的地位。給定體系所受的勢能 V(x,t) 和粒子在某一初始時刻的波函數 Ψ(x,0)，薛丁格方程式原則上決定了粒子在之後所有時刻的波函數 Ψ(x,t)。它是量子力學中描述體系狀態隨時間演化的基本動力學方程式。

3. 統計詮釋與內在不確定性

波函數本身並非直接對應於古典意義上的粒子位置。其物理意義由波恩（Born）的統計詮釋（statistical interpretation）給出：|Ψ(x,t)|² 代表在時刻 t 於位置 x 發現粒子的機率密度（probability density）。這意味著，在一個微觀體系中，即使我們完全知道其狀態（即波函數 Ψ），我們也無法精確預測粒子在某個單一位置測量實驗中的結果。量子力學只能提供可能結果的統計資訊。這種不確定性並非源於我們對體系資訊的不完全掌握，而是體系本身固有的性質。

這種內在的不確定性引發了關於量子力學基礎的深刻爭論：
* 現實主義（Realism）： 粒子在測量前就處於某個確定的位置，只是量子力學理論不完備，未能告訴我們這些「隱藏變量」（hidden variables）。不確定性反映的是我們的無知。
* 正統學派（Orthodoxy，哥本哈根詮釋）： 粒子在測量前並不存在於某個確定位置。測量行為本身迫使粒子「選擇」某個確定位置顯現。測量過程在量子力學中扮演著獨特而本質的角色，並導致波函數的「塌陷」（collapse）或「歸約」（reduction）到對應測量結果的本徵態。
* 不可知論（Agnosticism）： 拒絕回答粒子在測量前在哪裡，認為在測量前對一個本質上無法探測的狀態進行論斷沒有意義。

本書的序言提到，約翰·貝爾（John Bell）在 1964 年的理論工作表明，現實主義（特別是定域性現實主義）與量子力學在某些觀測上存在可實驗驗證的差異。後續實驗結果（如 Aspect 等人的實驗）強烈支持量子力學的預測，否證了定域性隱變量理論，暗示自然界可能存在某種非定域性聯繫。本書的作者傾向於接受正統派的觀點，認為測量是一個獨特的過程，導致波函數的塌陷。

4. 可觀測量與算符：本徵值與本徵函數

在量子力學中，與每一個可測量的物理量（如位置、動量、能量、角動量等）相對應的，都有一個線性的厄密（Hermitian）算符（operator）。算符是一種作用於波函數（或更普遍地，量子態）上的數學規則。例如，位置算符通常就是乘以 x，動量算符是 $(ħ/i)∂/∂x$，能量算符（哈密頓算符 H）是 $-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2} + V(x)$。

測量一個可觀測量 Q 的結果不是任意值，而一定是其對應的厄密算符 Q̂ 的本徵值（eigenvalue）。量子力學的測量原理指出：
* 如果對處於 Ψ 態的體系測量 Q̂，可能得到的結果是 Q̂ 的所有本徵值 qn（若譜為分立）或 q(z)（若譜為連續）。
* 得到特定本徵值 qn 的機率正比於波函數 Ψ 在對應本徵函數 ψn 上的「投影」的模方 |c_n|²，其中 c_n 是 Ψ 在本徵函數基下的展開係數。對於連續譜，機率與在對應本徵函數 ψ_z 上的「投影」函數 c(z) 的機率密度 |c(z)|² dz 有關。
* 測量後，體系的波函數會「塌陷」到對應測量結果的本徵態上。

厄密算符的特性保證了它們的本徵值是實數（符合測量結果為實數的要求）
，且屬於不同本徵值的本徵函數是相互正交的。對於表示可觀測量的算符，其本徵函數集合是完備的，可以在其基底下展開任意量子態。

5. 定態與能量本徵值：時間無關薛丁格方程式

對於時間無關的勢能 V(x)，含時薛丁格方程式可通過分離變數法求解，得到形如 Ψ(x,t) = ψ(x)ϕ(t) 的特殊解。將此形式代入 TDSE，可導出時間部分 ϕ(t) = e⁻ⁱᴱᵗ/ħ 和空間部分 ψ(x) 滿足的定態薛丁格方程式（Time-Independent Schrödinger Equation, TISE）：
$H\psi(x) = E\psi(x)$
這正是一個能量算符（哈密頓算符 H）的本徵值方程式，其中 ψ(x) 是本徵函數，E 是本徵值。這意味著：
* 定態薛丁格方程式的解 ψ(x) 是能量算符的本徵函數，其對應的本徵值 E 是體系可能擁有的確定能量值。
* 形如 Ψ(x,t) = ψ(x)e⁻ⁱᴱᵗ/ħ 的態稱為定態（stationary states）。在定態中，機率密度 |Ψ(x,t)|² = |ψ(x)|² 不隨時間變化，所有力學量的期望值也是時間無關的。能量的測量結果確定為 E。

定態薛丁格方程式及其解是量子力學的核心內容之一。許多實際問題歸結為求解不同勢能 V(x) 下的 TISE。根據勢能的特性，能量本徵值譜可以是分立的（如無限深方勢阱、諧振子），對應束縛態；也可以是連續的（如自由粒子），對應散射態；或兩者兼有（如有限深方勢阱、氫原子）。分立譜對應的能量是量子化的。

6. 特定體系與其量子性質

本書詳細介紹了幾種典型勢能下的薛丁格方程式解，揭示了量子力學的關鍵特徵：
* 無限深方勢阱： 展示了能量量子化（能階是離散的，正比於量子數的平方），以及本徵函數的正交性和完備性。
* 諧振子： 展示了能量的等間距量子化，並引入了強大的代數方法（階梯算符），以及分析解和特殊的正交多項式（厄密多項式）。
* 自由粒子： 展示了連續譜和非歸一化本徵函數（平面波），以及波包（可歸一化的線性組合）的概念和群速度的意義。
* 氫原子（庫侖勢）： 在三維球坐標下求解，分離出角向和徑向方程。角向解是球諧函數（Y_lm），是總角動量 L² 和其 z 分量 Lz 的本徵函數，角動量量子化（l, m 量子數）。徑向解導出能量量子化（n 量子數），揭示了氫原子能階結構（玻爾公式）和波函數的空間分布。引入自旋（內稟角動量 S），它不依賴於空間坐標，有其自身的對易關係和本徵值（s, m_s 量子數，如電子為自旋 1/2）。

7. 多粒子體系與全同粒子原理

當考慮多個粒子組成的體系時，其波函數是所有粒子坐標的函數。對於全同粒子（ indistinguishable particles，如所有電子都完全相同），量子力學引入一個基本原理：交換任意兩個全同粒子後，體系的總波函數（包含空間和自旋部分）必須保持不變（對稱）或變號（反對稱）。
* 玻色子（Bosons）： 交換後波函數對稱，自旋為整數（如光子）。
* 費米子（Fermions）： 交換後波函數反對稱，自旋為半奇數（如電子、質子）。

這個原理對多粒子體系有深遠影響：
* 泡利不相容原理（Pauli Exclusion Principle）： 兩個全同費米子不能佔據完全相同的單粒子態（包括空間和自旋），因為這樣會導致波函數為零。這解釋了原子中電子的殼層結構和元素週期表的形成，以及固體中電子的能帶填充（費米能、費米面）。
* 交換力（Exchange Force）： 對稱化/反對稱化要求導致了似乎存在於全同粒子之間的吸引或排斥趨勢，這種純量子效應是共價鍵等現象的來源之一。

8. 量子動力學與時間演化

除了定態問題，量子力學也處理含時的物理過程：
* 含時微擾論： 當哈密頓量包含隨時間變化的項時，體系的量子態不再是定態。如果含時微擾相對較小，可以計算粒子在定態之間的躍遷機率。
* 輻射與原子躍遷： 原子的發射和吸收光子是典型的含時微擾問題。微擾來自於光波的電場。理論預測了吸收、受激發射（雷射的基礎）和自發發射（零點場引起）三種機制，並給出了躍遷速率（費米黃金法則的特例）和相應的選擇定則（角動量守恆要求）。
* 絕熱近似與貝里相： 如果哈密頓量的參數隨時間變化得非常緩慢（絕熱過程），則體系將保持在演化中的瞬時本徵態上，並額外獲得一個「幾何相」（Berry phase），這個相位僅依賴於參數空間中演化路徑的幾何性質，與演化速度無關（例如，Aharnonov-Bohm 效應可視為其一個例子）。

9. 散射理論

量子散射理論描述粒子與散射中心（由勢能 V(r) 描述）交互作用後的行為。通常關注入射粒子作為平面波（自由粒子）的漸近態，以及被散射後出射球面波的漸近態。核心目標是計算散射振幅 f(θ,φ)，它決定了微分截面 D(θ,φ) = |f(θ,φ)|² 和總截面 σ。
* 分波法（Partial Wave Analysis）： 適用於球對稱勢。將波函數按角動量本徵態展開，每個分波獨立散射，只改變相移（δ_l）。散射振幅和截面可以由相移表示。
* 波恩近似（Born Approximation）： 一種微擾方法，適用於弱勢場或高能量散射。將散射振幅表示為勢能傅立葉變換的形式。

10. 量子力學的基礎問題與詮釋之爭 (後記)

後記部分回顧了本書開頭提到的量子力學的基礎問題：
* EPR 佯謬與 Bell 定理： EPR 佯謬試圖證明量子力學是不完備的（存在隱變量）。Bell 定理證明任何滿足定域性假設的隱變量理論與量子力學的預測（特別是量子糾纏態的測量相關性）不相容。實驗結果強烈支持量子力學，暗示自然界的非定域性。
* 測量問題： 測量的獨特角色和波函數的塌陷仍然是詮釋上的難點。薛丁格貓佯謬生動地展示了將微觀疊加狀態擴展到宏觀領域的荒謬性。
* 無復本定理（No-Cloning Theorem）： 量子態不能被完美複製，這與測量的毀滅性有關，也阻止了利用量子非定域性進行超光速信息傳輸。
* 量子齊諾佯謬（Quantum Zeno Paradox）： 理論上，持續的測量可以抑制不穩定體系的衰變，與波函數塌陷的頻繁發生有關，但實驗驗證的詮釋仍有爭議。

本書的結束語表明，儘管存在這些詮釋上的爭議，波函數的統計詮釋、薛丁格方程式的演化以及測量導致塌陷的正統觀點，是目前大多數物理學家所接受和用於實際計算的框架，它已通過眾多實驗的檢驗，但對於測量本質和塌陷機制的深入理解仍是未來的課題。