莫里斯·克莱因：数学——确定性的丧失@1997

本書的核心論點，圍繞著數學的本質、其作為知識體系的基礎與可靠性，以及其與自然世界和人類理性的關係所經歷的歷史性變革與危機展開。從最初被視為宇宙設計的真理與人類理性的巔峰，到其邏輯基礎的動搖、內在矛盾的顯現，以及最終各家學派對其本質與方法的劇烈分歧，文集詳盡闡釋了數學如何從一個看似堅不可摧的確定性堡壘，轉變為一個充滿不確定性、依賴於外部驗證且面臨深刻哲學挑戰的領域。

1. 數學最初被視為宇宙的語言與客觀真理的體現：
   • 文集追溯至古希臘時期，強調畢達哥拉斯學派、柏拉圖乃至亞里士多德等先哲，普遍相信宇宙是依照數學原理設計的，而人類理性能夠揭示這些神聖的數學法則。數學，特別是幾何，被視為理解自然秩序與和諧的關鍵。
   • 歐幾里得的《幾何原本》被呈現為這一信念的早期高峰，它透過公理（被認為是關於物理世界的自明真理）與演繹推理構建起一個邏輯體系，成為後世數學嚴謹性的典範。這強化了數學是揭示客觀真理、具有絕對可靠性的觀點。
   • 文藝復興後，科學復興與宗教信仰結合，哥白尼、克卜勒、伽利略、笛卡兒、牛頓等科學巨匠，將數學與上帝創造宇宙的設計緊密連結。牛頓的萬有引力定律以精確的數學形式統一了天地運動，更鞏固了數學是自然定律的真實體現、是上帝意志的語言這一信念。數學的成功應用似乎提供了無可辯駁的證據，證明其定理是關於物理世界的真理。
2. 第一場危機：數學真理的失落與內在邏輯缺陷的暴露：
   • 隨著科學與神學的分離，數學不再依賴神意作為其真實性的最終保障。然而，更深刻的危機來自數學自身。
   • 19世紀非歐幾何（羅巴切夫斯基、波埃、高斯、黎曼）的創立，證明了歐幾里得的平行公設並非唯一可能的空間公理，挑戰了歐氏幾何作為物理空間唯一「真理」的地位。這顯示數學公理並非關於現實的自明真理，而是人類基於經驗的假設，其適用性需要驗證。
   • 新型代數（如哈密頓的四元數，不滿足乘法交換律）的出現，打破了算術與代數規則是唯一、必然的觀念，進一步質疑了數學結構的獨特性與客觀性。
   • 文集也回溯了數學史上長期存在但被忽略的邏輯缺陷，包括古希臘幾何基礎的不完善（未定義概念、未陳述公理）、非希臘算術與代數缺乏邏輯基礎（無理數、負數、複數的引入與運算缺乏證明）、以及微積分發展初期在無窮小量、極限等概念上的含糊與矛盾。這揭示了數學在歷史進程中常常依賴直覺、經驗與應用成功而非嚴格邏輯推進。
3. 嚴謹化運動的興起及其局限性：
   • 面對真理的失落和內部邏輯的混亂，19世紀下半葉興起了一場以嚴謹性為核心的基礎重構運動。數學家們（如魏爾斯特拉斯、戴德金、康托爾）努力為實數系統、分析、集合論等建立嚴格的邏輯基礎，並發展了符號邏輯（布爾、弗雷格、皮亞諾）來精確化推理過程。
   • 這一運動旨在將數學建立在明確的定義、公理和無懈可擊的演繹證明之上，用邏輯上的無矛盾性取代對外部世界或直覺的依賴，期望重建數學的確定性。到1900年前後，許多人感覺已接近成功，特別是將分析算術化。
4. 第二次危機：集合論悖論與學派分歧的爆發：
   • 嚴謹化運動的深入卻揭示了新的、更深刻的矛盾。集合論（康托爾）在證明過程中顯露出悖論（如羅素悖論），直接威脅到以集合論為基礎的數學系統的無矛盾性。
   • 這些悖論以及對選擇公理和連續統假設等基本假定的爭議，導致了對數學基礎的本質性分歧，爆發了學派之爭。
   • 邏輯主義試圖將所有數學歸約為邏輯，相信邏輯的無矛盾性可保證數學的可靠，但面臨悖論（需引入爭議性公理）和邏輯自身基礎的問題。
   • 直覺主義反對實無窮、非構造性證明和經典邏輯在無窮上的應用（特別是排中律），主張數學是人類心智的構造活動，重建了一個較弱但對其追隨者而言更直觀、更可靠的數學體系。
   • 形式主義將數學視為符號和規則的遊戲，其核心任務是用有限的、直觀可靠的方法證明形式系統的無矛盾性，以挽救經典數學。
   • 集合論公理化則聚焦於建立一套能容納經典數學並避免已知悖論的集合論公理系統，成為當代最被普遍接受的基礎框架，但其無矛盾性仍是未決問題。
5. 哥德爾定理與終極界限的揭示：
   • 哥德爾的不完備性定理（1931年）對形式主義和邏輯主義構成毀滅性打擊，證明任何包含算術的夠強的形式系統：
     • 其無矛盾性無法在系統內部證明。
     • 都存在系統內部無法判定真偽（既無法證明也無法證偽）的真命題。
   • 這揭示了公理化方法的根本局限：沒有一個單一、完備、可以自我證明無矛盾的公理系統能涵蓋所有數學真理。存在著超出任何形式系統證明的數學真理。
   • 獨立性證明（如科恩關於選擇公理和連續統假設的證明）進一步顯示，在標準公理系統下存在不可判定的基本命題，導致數學基礎有多種可能的、彼此不相容的選擇（如是否接受選擇公理）。
   • 勒文海姆-斯科倫定理指出，許多公理系統容許與預期截然不同（如不可數理論有可數模型）的解釋，挑戰了公理獨特刻劃數學結構的能力。
   • 這些結果徹底摧毀了數學是唯一、確定、可以完全公理化捕捉的真理體系的傳統理想。數學面臨著多樣性、不確定性，甚至潛在矛盾的威脅。
6. 數學的孤立與應用的權威：
   • 面對內在的危機，大部分數學家選擇迴避基礎問題，轉而追求抽象、一般化和專門化等「純數學」研究，與科學和其他應用領域日益隔絕。這被一些人視為活力枯竭的危險信號，而另一些人則認為這恰恰是數學擺脫約束、發揮創造力的體現。
   • 然而，文集最終提出，儘管數學基礎不確定，但其在自然科學（特別是物理學）中令人驚嘆的有效性，提供了其合理性的最終外部驗證。這種「無理的有效性」是一個難以解釋的謎團，但它使數學成為理解和掌握自然的強大工具。
   • 因此，數學的價值和合法性不再（或不應再）僅憑其內部的邏輯嚴謹性或基礎的穩固性來衡量，而是根據其在應用中的成功來判斷。數學被視為一門準經驗科學，其定理像科學定律一樣，是可用的理論，其正確性由應用結果來檢驗和修正。

數學的歷史是一部從客觀真理的信念，經歷了內部邏輯缺陷、悖論的暴露，到基礎的徹底動搖和學派分裂的危機史。傳統上對其絕對確定性的追求已變得難以實現。在缺乏統一、堅實的內部基礎的情況下，數學的有效性最終依賴於其在自然世界中的應用成功，而其未來發展的方向也應重新與科學及現實問題連結，以重獲活力與意義。